Graficando paradojas

Las paradojas a veces son tratadas como callejones sin salida lógicos; pero yo prefiero verlas como combustible para el arte y el pensamiento original.

Por ejemplo, tomemos la famosa pseudo-paradoja de Epiménides, que en su versión más sencilla requiere asignar un valor de verdad a la frase “Esta frase es falsa”. En lenguaje formal la frase quedaría expresada así:

Se puede resolver el problema simplemente declarando que tal frase no tiene sentido, y por lo tanto, no tiene valor de verdad; pero es una salida demasiado tranquila.

Jan Łukasiewicz no se conformó con ese tipo de soluciones, y probó dar valores reales a las variables de la lógica proposicional.
Ignoro hasta qué punto habrá llegado su método, pero permite soluciones creativas: llamando al valor de verdad de la proposición anterior, podemos expresarlo como , de lo cual resulta . O sea, que la frase es una verdad a medias.

Esto requiere que asignemos los valores entre 0 (la falsedad absoluta) y 1 (la verdad absoluta); aunque también podría darse una valoración compleja a las frases, usando el eje real para la probabilidad y el eje imaginario para la creatividad. Por ejemplo, a la frase “La luna está hecha de queso” yo le asignaría el valor .

Pero hablando más en serio, se pueden hacer imágenes llamativas a partir de ciertas expresiones lógicas. Por ejemplo, este gráfico está confeccionado a partir de estas dos proposiciones:

El gráfico está hecho superponiendo muchas órbitas distintas de los valores que van tomando las variables p y q cuando se realimentan las fórmulas, buscando un “punto fijo”. En cada órbita, las variables comienzan con valores aleatorios entre 0 y 1.

Este otro gráfico es una ligera variante del anterior:

Es muy interesante comparar los gráficos obtenidos cuando los conjuntos de frases son tautologías, contradicciones y contingencias: son notablemente distintos. Pero ya volveremos sobre el tema, con más ejemplos y gráficos mejor hechos.