En matemática los bucles son omnipresentes, en parte debido al poder expresivo de las definiciones y demostraciones inductivas.
Este tipo de definiciones son algo difíciles de atrapar para algunas personas; y más si se le da desde el principio un enfoque inadecuado.
Daré un ejemplo simple: la función factorial, representada habitualmente en forma sufija con el símbolo «!» (Por ejemplo, el factorial de 7 se expresa como 7!). Esta notación fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1808.
El uso más prosaico que se le da a la función factorial es en cálculos de combinatoria: n! es la cantidad de maneras de ordenar n objetos distintos.
Se la puede definir de formas no inductivas; la más directa (y casi repulsiva) es esta:
O sea, el producto de todos los números enteros desde 1 hasta n.
En contextos informáticos es más eficiente definir funciones simples como esta en formas iterativas en lugar de inductivas; pero ese es un tema para tratar en mayor profundidad más adelante.
Entre las formas inductivas de definirla, que son mucho más interesantes, mi preferida es la que usa dos igualdades:
Y he aquí el problema: a veces, luego de escribir esta definición, la gente se apresura a aclarar que la segunda igualdad sólo se aplica cuando 
Es más, quizá lo más estimulante sería presentar las igualdades en orden inverso:
De esta manera se refuerza la dirección de la interpretación. La segunda igualdad asume el rol de freno, en lugar caso base de la definición inductiva, que es un concepto más difícil de adoptar por primera vez.
Por supuesto, en caso de duda siempre se puede aclarar según sea necesario, y en un libro sería casi obligada la aclaración; pero en un aula, o divagando con amigos, creo que es mejor la última forma, que es la que usaría yo si enseñara matemática.
